数学分析，一致连续和非一致连续的证明
题目抄错了，应该是[a,+∞)上一致连续，当然左开也一样
思路是：在0点附近，不过两个x1,x2多接近，比如取1/(kπ）和1/（kπ+π/2），其函数差为1，不能随便小，所以有前面的结论
后面可以考虑分两段[a,1]，[1，+∞)，第一段是有界闭区间，所以一致连续，第二段，你可以看看导数绝对值|cos(1/x)|/x²1，所以也容易证明（构造）
证明函数不一致连续
f(x)在开区间(a,b)内一致连续的充要条件是，f(a+)和f(b-)存在，这里由于当x趋于0+时，lime^xcos1/x不存在，因此不一致连续。
如何说明函数不是一致连续?请给出数学表达
连续性：比如x∈[a，b]，只要证明函数在x分别趋向x－和x＋时的两个值是否相等，如果在[a，b]区间内，两个极限值都相等，说明函数在[a，b]上连续。
一致性：只要对函数求导，在x∈[a，b]上，函数的导数值都是同号，即都≥0或都≤0，就可以证明函数是一致的。
已知f(x)=1/x，请问如何证明f(x)在（0，1）内不是一致连续的？
f(x)在集合e一致连续的定义：“对任意给定的正数ε，存在δ0,
对所有x\’,x\’\’属于e，只要|x\’-x\”|δ,
都有|f(x\’)-f(x\’\’)|ε.
”
因此f(x)在集合e不一致连续的定义是：“对给定的某正数ε0，不论δ取值多么小,
总至少有两点x\’,x\’\’属于e，虽|x\’-x\”|δ,
却有|f(x\’)-f(x\’\’)|=ε.”
由此证明f(x)
=
1/x在（0，1]不是一致连续的：
对ε0=1，不论δ取值多么小，总有自然数n,使得1/2nδ,
于是我们取x\’=1/n,x\’\’=1/2n，虽|x\’-x\”|δ，却有|f(x\’)-f(x\’\’)|=|1/x‘-1/x\’\’|=n1.因此f(x)
=
1/x在（0，1]不是一致连续的.
不知你有否明白？
求解，关于不一致连续的证明题？如图
对任意ε0及x\’∈(c,1)，存在d=εc^2，使对所有|x-x\’|d，有
|f(x)-f(x\’)|
=|sin(1/x)-sin(1/x\’)|
=|2cos[(x+x\’)/2xx\’]sin[(x-x\’)/2xx\’]|
=2|sin[(x-x\’)/2xx\’]|
=|x-x\’|/xx\’
d/c^2
=ε
因为d的取值只与ε有关，而与x\’无关，所以f(x)在(c,1)上一致连续
对任意ε0及x\’∈(c,1)，存在d=(εx\’^2)/(1+εx\’)，使对所有|x-x\’|d，有
|f(x)-f(x\’)|
=|sin(1/x)-sin(1/x\’)|
=|2cos[(x+x\’)/2xx\’]sin[(x-x\’)/2xx\’]|
=2|sin[(x-x\’)/2xx\’]|
=|x-x\’|/xx\’
d/[x\'(x\’-d)]
=ε
因为d的取值同时与ε和x\’有关，所以f(x)在(0,1)上非一致连续
